Question

Sa se calculeze suma primilor 25 de termeni ai unei progresii aritmetice $(a_{n})_{n\ \textgreater \ 1}$, stiind ca $a_{7} - a_{3} = 8$ si $a_{1} + a_{4} + a_{5} + a_{8} = 20.$

Answer 1

a₁ + 6r - ( a₁ + 2r) = 8          ;       6r - 2r = 8  ; 4r = 8   ;  r =8 :4 = 2 
                                                        r = 2 
a₁  + a₁ + 3r + a₁   + 4r  + a₁ + 7r =20    ;  4a₁ + 14r =20     ; 4a₁ + 14·2 = 20
                                                                           4a₁ =20 - 28 
a₁=-  8 : 4 =  - 2
prog .aritm .  - 2 ;0 ;2 ;4 ;6 ; 8 ; 10 ; 12 ; 14 ;   ;......
a₂₅ = a₁  + 24·r = - 2  + 24 · 2 = 46 
S₂₅ = ( a₁ + a₂₅ ) ·25 / 2  = ( - 2  + 46  ) · 25 /2  = 25· 44  :2 = 25 · 22= 550

Answer 2

$\displaystyle a_7-a_3=8 \Rightarrow a_{7-1}+r-(a_{3-1}+r)=8\Rightarrow a_6+r-(a_2+r)=8 \Rightarrow \\ a_1+6r-(a_1+2r)=8 \Rightarrow a_1+6r-a_1-2r=8 \Rightarrow 4r=8 \Rightarrow \\ \Rightarrow r= \frac{8}{4} \Rightarrow r=2 \\ a_1+a_4+a_5+a_8=20 \Rightarrow a_1+a_{4-1}+r+a_{5-1}+r+a_{8-1}+r=20 \Rightarrow \\ \Rightarrow a_1+a_3+r+a_4+r+a_7+r=20 \Rightarrow \\ \Rightarrow a_1+a_1+3r+a_1+4r+a_1+ 7r=20 \Rightarrow 4a_1+14r=20 \Rightarrow$
$\displaystyle \Rightarrow 4a_1+14 \cdot 2=20 \Rightarrow 4 a_1+28=20 \Rightarrow 4a_1=20-28 \Rightarrow 4a_1=-8 \Rightarrow \\ \Rightarrow a_1=- \frac{8}{4} \Rightarrow a_1=-2 \\ S_{25}= \frac{-4+24 \cdot 2}{2} \cdot 25 \Rightarrow S_{25}= \frac{-4+48}{2} \cdot 25 \Rightarrow S_{25}= \frac{44}{2} \cdot 25 \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow S_{25}=22 \cdot 25 \Rightarrow S_{25}=550$