Question

Sa se calculeze suma tuturor numerelor naturale care impartite la 20 dau catul si restul egale.

Answer 1

Suma numerelor este 3990

REZOLVARE + EXPLICAȚII:

La împărțirea cu 20 resturile posibile sunt 0,1,2,3,4,5,...,18,19 pentru că restul este mereu mai mic decât împărțitorul!

Deîmpărțit : împărțitor = cât și rest

Notăm cu a deîmpărțitul

Pentru rest = 0 avem a : 20 = 0 rest 0

→ a0 = 20 • 0 + 0 = 0

Pentru rest = 1 avem a : 20 = 1 rest 1

→ a1 = 20 • 1 + 1

Pentru rest = 2 avem a : 20 = 2 rest 2

→ a2 = 20 • 2 + 2

Pentru rest = 3 avem a : 20 = 3 rest 3

→ a3 = 20 • 3 + 3

și tot așa...

a4 = 20 • 4 + 4

a5 = 20 • 5 + 5

a6 = 20 • 6 + 6

....

a19 = 20 • 19 + 19

Suma → rezultatul adunării

a0 + a1 + a2 + a3 + a4 + ... + a19 =

= 0 + (20 • 1 + 1 ) + (20 • 2 + 2) + (20 • 3 + 3) + (20 • 4 + 4) +...+ (20 • 19 + 19) =

le grupăm convenabil

= 20 • 1 + 20 • 2 + 20 • 3 + 20 • 4 +...+20 • 19 + 1 + 2 + 3 + 4 + .... + 19 =

= 20 ( 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 19 ) + 19 • 20 : 2 =

= 20 ( 19 • 20 : 2 ) + 19 • 20 : 2 =

= 20 ( 19 • 10 ) + 19 • 10 =

= 20 • 190 + 190 =

= 3800 + 190 =

= 3990

Am folosit formula lui Gauss:

1 + 2 + 3 + .... + n = n • ( n + 1 ) : 2