Question

Sa se calculeze sumele :
a)Sn=1+3+5+7+...+(2n+1)
b)Sn=3+7+11+...+(4n-1)
c)Sn=2x+(2x-3)+(2x-6)+...+(2x-3n+3)
Dau coroana!

Answer 1

a) adun cate 1 la fiecare termen, si deoarece merge din 2 in 2 pana la 2n+1 inseamna ca sunt n+1 termeni

exemplu pentru 1,3,5.....99 (49*2+1) sunt 50 de termeni deoarece 1,2,3,4...100 sunt 100 termeni iar sirul acela are doar nr impare, care sunt jumatate

deci adun n+1 si rezulta
2+4+6+8+.....2(n+1) +(n+1)
dau factor comun pe 2
2(1+2+3+4+....+(n+1)) +(n+1)

suma de la 1 la n este n(n+1)/2
2(n+1)(n+2)/2 +(n+1)=(n+1)(n+2)+(n+1)

dupa factor comun (n+1) rezulta
suma=(n+1)(n+2+1)
suma=(n+1)(n+3)

b)in cazul asta adun de asemenea cate 1 la fiecare, si in total sunt n termeni
(am facut verificare n=3 rezulta sirul 3+7+11 (3 termeni))

4+8+12+...+4n + n
dau factor comun pe 4
4(1+2+3+...n)+n
suma de la 1 la n
4*n*(n+1)/2 + n
2*n(n+1)+n=n(2n+2)+n

dupa factor comun n rezulta
suma=n(2n+2+1)
suma=n(2n+3)

c)in cazul sumei Sn=2x+(2x-3)+(2x-6)+...+(2x-3n+3)
sunt n termeni, am verficat pentru n=2, rezulta sirul 2x + (2x-3*2+3), adica 2 termeni pt n=2

deci daca desfac fiecare paranteza o sa rezulte
2x+2x-3+2x-6+.....+2x-3n+3

se observa ca 2x se repeta la fiecare termen (adica de n ori)
deci
suma=n*2x-3-6-.....-(3n-3) (este 3n-3 deoarece am dat factor comun pe -1 ca sa scriu in paranteza)

de la al 2-lea termen in colo dau factor comun pe -1 si rezulta

suma=2nx- (3+6+9+...+(3n-3))

suma2=3+6+9+....+(3n-3) (ultimul termen este 3(n-1))
dau factor comun pe 3 si rezulta
suma2=3(1+2+3+...(n-1))
suma2=3(n-1)n/2

inlocuiesc in suma si rezulta
suma=2nx- suma2
suma=2nx-3(n-1)n/2

aduc la acelasi numitor
suma=(4nx-3(n-1)n)/2
factor comun n
suma=(n(4x-3(n-1)))/2