Question

Să se calculeze $1+i+ i^{2} +...+ i^{10}$.

Dacă se poate mai explicit.

Answer 1

S=1+i+i^2+i^3+i^4....+i^10

i^2 = -1
i^3 = -i
i^4 =  1
i^5 = i

S = 1+i-1-i+1+i+........

observam ca (1+i-1-i) se reduc, cate cicluri avem?:

-avem 4 elemente, numarul de termeni este 11,    -> 11:4 = 2, rest 3. => avem 2 cicluri, si mai ramane 1 ciclu de scris, care se termina cu al 3-lea element din ciclu, adica -1,    deducem ca i^10 = -1.


=> S = 0+0+1+i-1 = i => S = i


PS: Hai sa te invat cum sa calculezi i^n in alt mod:

Avem 2 cazuri:
     a) Cand puterea este para:
                 - daca impartita la 2, da un numar par, -> i^n = 1
                 - daca impartita la 2, da un numar impar, -> i^n = -1
     b) Cand puterea este impara: (mai intai o scadem cu un 1)
                 - daca impartita la 2, da un numar par, -> i^n = i
                 - daca impartita la 2, da un numar impar, -> i^n = -i

i^10 -> 10:2 = 5, impar => i^10 = -1
i^2017 -> (2017-1):2 = 2016:2 = 1008, par -> i^2017 = i