Question

Sa se calculeze: $( \frac{-1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2} )^9$

Answer 1

z=a+bi a=-1/2 b=√3/2 =>   Ф∈cadranul   2 Ф=π/3+π/2=5π/6
lZl=(-1/2)²+(√3/2)²=1
z=cos5π/6+isin5π/5
aplici   formula   lui   Moivre  pt  z^9

Answer 2

fie z=α(sauω, notatii uzuale)=(-1/2+i√3/2) 
numarul este una din radacinile cubice complexe ale lui 1 din ecuatia

z³=1

justificare
z³-1=0
(z-1) (z²+z+1)=0
daca rezolvi a doua paranteza=0,  cu Δ., vei obtine z2,3=(-1/2+-i√3/2)
deci z³=1
si z^9=(z³)³=(1)³=1
as simple as that!


ALTFEL,  cu Moavre
 modulul nr complex este √((1/2)²+(√3/2)²)=√(1/4+3/4)=√1=1

iar argumentul redus este 2π/3

atunci
z= cos2π/3+isin2π/3
ridicat la puterea a 9-a, argumentul redus devine
(2π/3)*9=6π=0

iar modulul este 1^9=1
atunci
si z^9=1(cos0+isin0)=1+0i=1