Question

Să se calculeze $sin\frac{45}{2}$ (45° este unghi)

Answer 1

RASPUNS :  $sin\frac{45}{2} = \frac{\sqrt{2-\sqrt{2} }}{2}$

EXPLICATIE :

Observam ca 45/2 apartine cadranului I. Aceasta observatie ne va fi de folos mai tarziu.

Stim formula  $cos(2x) = 1-2sin^{2}x$

Scoatem din aceasta formula sinusul patrat din x : $sin^{2}x = \frac{1-cos(2x)}{2}$, oricare ar fi x numar real.

Daca inlocuim x cu x/2 (putem inlocui x cu orice valoare in orice functie cat timp suntem pe intervalul pe care proprietatea este adevarata. In cazul nostru x/2 apartine R) rezulta :

$sin^{2}(\frac{x}{2} ) = \frac{1-cosx}{2}$

Pentru x = 45 =>

$sin^{2}(\frac{45}{2} ) = \frac{1-cos45}{2} = \frac{1-\frac{\sqrt{2} }{2} }{2} = \frac{\frac{2-\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{2-\sqrt{2}}{4}$

Stim ca pe cadranul I functia sinus este pozitiva, deci $sin\frac{45}{2} = +\sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{4} } = \frac{\sqrt{2-\sqrt{2} }}{2}$

Answer 2

$\it cos2x=1-2sin^2x \Rightarrow sin^2x=\dfrac{1-cos2x}{2}\\ \\ \\sin^2\dfrac{45^o}{2}=\dfrac{1-cos45^o}{2}=\dfrac{1-\dfrac{\sqrt2}{2}}{2}=\dfrac{2-\sqrt2}{4} \Rightarrow sin\dfrac{45^o}{2}=\dfrac{\sqrt{2-\sqrt2}}{2}$