Question

Sa se calculeze:
tg1*tg2*tg3*...*tg89.

Answer 1

Vom scrie tangentele ca rapoarte de sinus supra cosinus

$\frac{sin1^o}{cos1^o}* \frac{sin2^o}{cos2^o}*.... \frac{sin89^o}{cos89^o}$

Mai stim ca
$sinx^o=cos(90-x)^o$
si ca
$cosx^o=sin(90-x)^o$

Atunci vom lasa sirul pana la 45 de grade neschimbat, si apoi vom onlocui sinusurile si cosinusurile cu "reciprocele", adica sirul devine:

$\frac{sin1^o}{cos^1o} * \frac{sin2^o}{cos2^o} * .....* \frac{sin44^o}{cos44^o} * \frac{sin45^o}{cos45^o} *\frac{cos44^o}{sin44^o} ..... *\frac{cos2^o}{sin2^o}* \frac{cos1^o}{sin1^o}$
Observam ca se simplifica aproape toate fractiile, mai putin
$\frac{sin45^o}{cos45^o}=tg45^o=1$

Rezultatul final este 1.

Answer 2

tg1=ctg(90-1)=ctg89
tg2=ctg(90-2)=ctg88
...........................
tg44=ctg(90-44)=ctg46
tg45=1

tg1*tg2*tg3*...*tg89=ctg89*ctg88*....ctg46*tg45*tg46*...tg88*tg89
tgx*ctgx=1

grupam factorii peimul cu ultimul, al doilea cu penultimul... si obtinem produsul =1