Question

Sa se demonstreze
a) x³ + y² ≥ x²y + xy²
b)a²+b²≥2ab
c)a²+b²+c²≥ab+ac+bc
d)a+1 pe a≥2ab
e)a pe b + b pea ≥ 2

repede va rog .

Answer 1

a) x²+y² ≥ x²y+xy²
   (x+y)²-2xy ≥ x²y+xy² // din formula (a+b)²=a²+2ab+b²
   (x+y)² ≥ x²y+xy²+2xy
   (x+y)² ≥ xy*(x+y+2); fals

b) a²+b² ≥ 2ab
    a²-2ab+b² ≥ 0
    (a-b)²≥0 ; adevarat pentru a>b, a,b∈Z

c)a²+b²+c² ≥ ab+bc+ac
   a²-ab+b²-bc+c²-ac ≥ 0
   a(a-b)+b(b-c)+c(c-a) ≥ 0; A (scaderi reciproce)

d)(a+1)/a ≥ 2ab // se reduce a;
   a+1 ≥ 2b;
   2b-a-1≤0; doar in conditiile in care a=2b, a,b∈ N sau b∈Z

e)a/b +b/a ≥ 2;
   (a²+b²)/ab ≥ 2 //am amplificat
   (a²+ b² -2ab)/ab ≥ 0
   (a-b)²/ab ≥0 ; A, pentru a,b∈Z