Question

Sa se demonstreze ca:
(1/2)+(1/60+(1/12)+...+1/n(n+1)=n/n+1
1/2 se foloseste sub forma de fractie.
exercitiul se refera la tema cu inductia matematica

Answer 1

$\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{n(n+1)} \\ \\ =\frac{2-1}{1\cdot2}+\frac{3-2}{2\cdot3}+...+\frac{n+1-n}{n(n+1)} \\ \\ =\frac{2}{1\cdot2}-\frac{1}{1\cdot2}+\frac{3}{2\cdot3}-\frac{2}{2\cdot3}+...+\frac{n+1}{n(n+1)}-\frac{n}{n(n+1)} \\ \\ =\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \\ \\ =1-(\frac{1}{2}-\frac{1}{2})-(\frac{1}{3}-\frac{1}{3})-...-\frac{1}{n+1} \\ \\ =1-\frac{1}{n+1} \\ \\ =\frac{n}{n+1}$