Question

Sa se demonstreze ca [(1+itgx)/(1-itgx)]^n = (1+itgnx)/(1-itgnx), unde  x apartine lui R\{(2k+1)pi/2}, k apartine lui Z si n apartine lui N*.

Answer 1

Se foloseste formula lui Moivre

$(cosx+isinx)^n=cos\ nx+isin\ nx$,

 si daca inlocuim x cu -x, si tinem cont de faptul ca sin este impara si cos este para, avem si:

$(cosx-isinx)^n=cos\ nx-isin\ nx$

Mai tinem cont si de formula  $tgx=\dfrac{sinx}{cosx}$.

$\left(\dfrac{1+itgx}{1-itgx}\right)^n=\left(\dfrac{\dfrac{cosx+isinx}{cosx}}{\dfrac{cosx-isinx}{cosx}}\right)^n=\left(\dfrac{cosx+isinx}{cosx-isinx}\right)^n=$

$=\dfrac{cos\ nx+isin\ nx}{cos\ nx-isin\ nx}=(simplificam \ cu\ cosnx)=\dfrac{1+itg\ nx}{1-itg\ nx}$