Question

Sa se demonstreze ca 111111....10-n este divizibil cu 9 (cifra 1 se repeta de n ori)

Answer 1

111111........0 - n=10^n + 10^(n-1) + 10^(n-2) + 10^(n-3) + .... 10  - n
il scriem pe n=1+1+1+1+...............1 si grupam:
(10^n - 1) + (10^(n-1) -1) + (10^(n-2) - 1) + (10^(n-3) - 1) + .......(10 - 1)
pe de alta parte stim ca 10^k - 1 este un numar format din k cifre de 9 prin urmare avem:
99999....9 +9999...9 + 9999....9 + ..........+9
  n de 9         n-1 de 9    n-2 de 9   .............9
dam factor comun pe 9
9(1111....1+1111...1+1111....1+..........+1)
de unde rezulta ca expresia din enunt se divide cu 9