Question

Sa se demonstreze ca:
2^n>n^3 pentru oricare n mai mare sau egal cu 10.
Exercitiul se rezolva prin inductie matematica dar ceva nu imi iese...

Answer 1

pentru n  ≥ 10 
pentru n =10     avem  1024   > 1000  , adevarat 
sa presupunem  ca este adevarata pentru  k + 9  , daca  k ∈ N 
              adica    2 ( la puterea  k + 9)   > ( k + 9 )³ 
 pentru  k +10 avem :  
 2 ( la  puterea  k + 10 ) = 2 · 2 ( la puterea k +9)  > 2 · ( k + 9)³
dar   2 · ( k + 9)³  > ( k + 10 )³ ,     caci : 
   2k³ + 54k² + 486k + 1458 > k³ + 30k²  + 300k  + 1000 
sau  k³ + 24k² + 186k + 458 > 0  deci este adevarata pentru orice  n 

Answer 2

$Pentru~n=10~avem~2^{10}\ \textgreater \ 10^3,~adevarat! \\ \\ Presupunem~ca~propozitia~este~adevarata~pentru~k \geq n,~k \in N~si~ \\ \\ demonstram~ca~este~adevarata~si~pentru~k+1. \\ \\ Avem~deci~2^k\ \textgreater \ k^3 \Rightarrow 2^{k+1} \ \textgreater \ 2k^3. \\ \\ Ne~ propunem~sa~demonstram~ca~2k^3\ \textgreater \ (k+1)^3.~Aceasta~inegalitate~ \\ \\este ~echivalenta~ca~k^3\ \textgreater \ 3k^2+3k+1.~Impartim~ultima~relatie~la~k^3,~\\ \\ obtinand~(k\ \textgreater \ 0)~:$

$1\ \textgreater \ \frac{3}{k}+ \frac{3}{k^2}+ \frac{1}{k^3}~(*).~Dar~k \geq 10 \Rightarrow~ \frac{3}{k} \leq \frac{3}{10};~ \frac{3}{k^2} \leq \frac{3}{10^2};~ \frac{1}{k^3} \leq \frac{1}{10^3} . \\ \\ Prin~insumarea~ultimelor~trei~relatii,~deducem~ca~relatia~(*)~este \\ \\ adevarata,~si~deci~etapa~a~doua~de~inductie~este~verificata!$