Question

Sa se demonstreze ca daca AB=BA si det(A²+B²)=0, atunci detA=detB.
Doar c)-ul.Multumesc.

Answer 1

Explicație pas cu pas:

Folosind ideia din ${\bf a)}$ și pentru că produsul este comutativ, vom obține

$\det(A^2+B^2)=\det[(A+iB)(A-iB)]=\det(A+iB)\det(A-iB)=0\implies \det(A+iB)=0\quad \text{sau} \quad \det(A-iB)=0.$

În amândouă cazuri se verifică proprietatea pe care dorim s-o arătăm. Voi demonstra doar cazul în care $\det(A-iB)=0.$

Cazul în care se dă $\det(A+iB)=0$ demonstrația este analogă.

Să considerăm $A=[a_{st}]$și $B=[b_{st}].$ Deci

$\det(A-iB)=\begin{vmatrix} a_{11}-ib_{11}&a_{12}-ib_{12}\\a_{21}-ib_{21}&a_{22}-ib_{22}\end{vmatrix}=(a_{11}-ib_{11})(a_{22}-ib_{22})-(a_{12}-ib_{12})(a_{21}-ib_{21})=\underbrace{(a_{11}a_{22}-b_{11}b_{22}-a_{12}a_{21}+b_{12}b_{21})}_{\alpha}+i\beta$

Unde $\alpha,\beta \in\mathbb{R}.$

Fiindcă $\det(A-iB)=0$, în particular partea reală este egală cu 0, adică

$\alpha=0\implies \underbrace{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}_{\det(A)}=\underbrace{b_{11}b_{22}-b_{12}b_{21}}_{\det(B)}.$

$\hfill{\boxdot}$