sa se demonstreze ca daca n≥5 este un nr. natural, atunci 2^n > n²+n+1
Răspunsuri la întrebare
Răspuns de
7
Demonstram inegalitatea prin inductie:
P(n): "2^n>=n²+n+1", oricare ar fi n>=5
1)P(5):2^5>=5²+5+1⇔32>=31-evident
2) P(n)⇒P(n+1)
unde P(n+1): "2^(n+1)>=(n+1)²+(n+1)+1 ", adica "2^(n+1)>=n²+3n+3"
pentru orice n>=5
2^(n+1)=2^n·2>=conf. P(n) adev.>=(n²+n+1)·2=2·n²+2n+2>=n²+3n+3
deoarece:2·n²+2n+2>=n²+3n+3⇔n²-n-1>=0,pentru orice n>=5
deci P(n+1) este adevarata,asadar
P(n) este adevarata pentru orice n>=5.
P(n): "2^n>=n²+n+1", oricare ar fi n>=5
1)P(5):2^5>=5²+5+1⇔32>=31-evident
2) P(n)⇒P(n+1)
unde P(n+1): "2^(n+1)>=(n+1)²+(n+1)+1 ", adica "2^(n+1)>=n²+3n+3"
pentru orice n>=5
2^(n+1)=2^n·2>=conf. P(n) adev.>=(n²+n+1)·2=2·n²+2n+2>=n²+3n+3
deoarece:2·n²+2n+2>=n²+3n+3⇔n²-n-1>=0,pentru orice n>=5
deci P(n+1) este adevarata,asadar
P(n) este adevarata pentru orice n>=5.
getatotan:
am citit ca folosim ind. matem . dupaP(5 ) , P (6) .. adev se verific. pentru P ( k+5 ) ; nu P ( n +1 ) ; ce parere aveti ?
comentariul este constructiv , nu o corectura
In cartile mai vechi se folosea aceasta scriere...nu e de la mine . Este acelasi lucru daca peste tot schim cu k , si scriem propozitia P(k) si P(k+1).
1)Etapa de verificare P(5)
2)Etapa de demonstratie : P(k) implica P(k+1) . Se schimba ceva in demonstratie utilizand aceasta a 2-a scriere? Cred ca nu :).Am atatea carti in colectie unde se utiliza prima scriere mentionata. Daca vreti scanez una si o afisez :) . Multumesc pentru comentariu. De fapt nu prea ai cu cine sa conversezi pe acest site , in afara de dvs. binenteles :)
In demontratie am folosit varianta intai a inductiei matematice care spune asa: "Fie a un numar natural;asociem fiecarui nr. natural n>=a,o propozitie P(n).Varianta I: Daca: i)P(a) este adevarata; ii)Implicatia P(n)->P(n+1) este adevarata pentru orice n apartine lui N,n>=a,atunci P(n) este adevarata oricare ar fi n>=a " CORECT? Eu asta stiu ca este Principiul I al inductiei matematice.
Exista binenteles si Varianta II si Varianta III a inductiei matematice care nu e cazul sa o expun aici.
Probabil vreti sa va referiti la Varianta III: "Daca : i)P(a);P(a+1);...P(a+k-1) sunt adevarate ( k apartine lui N, k fixat); ii)Implicatia P(n)->P(n+k) este adevarata oricare ar fi n apartine lui N, n>=a, atunci P(n) adevarata oricare ar fi n apartine lui N, n>=a." Se poate demonstra aceasta inegalitate si folosind varianta III a inductiei matematice. Cred ca cu aceasta interventie am epuizat subiectul. Multumesc .:)
P.S. Am uitat de Varianta IV binenteles !
Scuzati cacofonia de mai sus :)
Alte întrebări interesante
Fizică,
8 ani în urmă
Engleza,
8 ani în urmă
Matematică,
9 ani în urmă
Matematică,
9 ani în urmă
Matematică,
9 ani în urmă
Limba română,
9 ani în urmă
Matematică,
9 ani în urmă