Question

Sa se demonstreze ca exista o infinitate de pătrate perfecte care se scriu ca diferența de doua cuburi consecutive Nelule , iar cel mai mic dintre aceste pătrate este 169

Answer 1

Notam
a³-b³=y astfel incat a;b;y∈N unde a;b≠0
Presupunem prin absurd ca numarul y nu poate fi scris sub forma
y=z² unde z∈N ;
Obtinem ca a³-b³=(b+1)³-b³=b³+3b²+3b+1-b³=3b²+3b+1
3b²+3b+1=3(b²+b)+1=M₃+1 ;
Consideram 3(b²+b)+1=4⇒b²+b=1⇒b(b+1)=1⇒fals deoarece b≠0.
3(b²+b)+1=16⇒b²+b=5⇒b(b+1)=5⇒b=2
Verificam a³-b³=3³-2³=27-8=19=16⇒fals deoarece 19≠16.
3(b²+b)+1=25⇒b²+b=8⇒b(b+1)=8⇒imposibil pentru b≠0.
3(b²+b)+1=49⇒b²+b=16⇒b(b+1)=16⇒imposibil pentru b≠0.
3(b²+b)+1=64⇒b²+b=21⇒b(b+1)=21⇒imposibil pentru b≠0.
3(b²+b)+1=100⇒b²+b=33⇒b(b+1)=33⇒imposibil pentru b≠0.
3(b²+b)+1=121⇒b²+b=40⇒b(b+1)=40⇒imposibil pentru b≠0.
3(b²+b)+1=169⇒b²+b=56⇒b(b+1)=56⇒b=7
Verificam a³-b³=8³-7³=512-343=169⇒adevarat.
Concluzie:169 este singurul patrat perfect cu aceasta proprietate deoarece daca am continua am obtine alte numere nepatrate perfecte.
Asadar,a³-b³=y unde y=z² pentru z=13 sau y≠z² pentru z≠13 ,z∈N.