Question

Să se demonstreze că în hexagonul regulat ABCDEF, are loc relaţia AD= 2(AB+ AF)

Answer 1

Ne uitam la desenul de mai jos cu hexagonul
ABDE este un paralelogram, atunci laturile AB si DE sunt paralele, si AB=DE
atunci 2 vectori paraleli si egali ca modul sunt egali vectoriali
$\vec{AB}=\vec{ED}$(1)
ACDF este un paralelogram, atunci laturile AF si CD sunt paralele si congruente AF=CD, atunci avem ca
$\vec{AF}=\vec{CD}$(2)
O este la intersectia tuturor diagonalelor din hexagon si este centrul cercului circumscris triunghiului. Atunci OA si OD sunt coliniare si formeaza impreuna diametrul AD
De unde vectorial rezulta ca
$\vec{AD}=\vec{AO}+\vec{OD}$(3)
ne uitam acum la paralelogramul ABOF: folosind aceeasi egalitate de paralele si congruenta avem
$\vec{AB}=\vec{FO}$
Avem atunci
$\vec{AO}=\vec{AF}+\vec{FO}=\vec{AF}+\vec{AB}$
Acum ne uitam la paralelogramul EOCD, si avem din nou egalitate vectoriala
$\vec{OC}=\vec{ED}$
Atunci avem
$\vec{OD}=\vec{OC}+\vec{CD}=\vec{ED}+\vec{CD}$
Din 1 si 2 rezulta ca
$\vec{OD}=\vec{AB}+\vec{AF}$
Atunci avem
$\vec{AD}=\vec{AO}+\vec{OD}=\vec{AF}+\vec{AB}+\vec{AB}+\vec{AF}=2(\vec{AB}+\vec{AF})$