Question

Să se demonstreze că într-un paralelogram suma pătratelor lungimilor laturilor este egală cu suma pătratelor lungimilor diagonalelor.

Answer 1

aplicam teorema cos : 
Δ ADC        AC² = d₁² = AD²  + DC ² - 2 · AD ·DC ·cos D 
Δ DAB        DB² = d₂² = AD² + AB²  - 2 · AD · AB · cos A 
----------------------------------------------------------------------------------------
            d₁² +  d₂²   = AD ² + DC²  + AD² + AB²  - 2·AD·DC·cosD - 2AD·AB·cos A =
in paralelogram           ↓
                               AD = BC                                D + A =180⁰ 
=  BC² + DC² + AD² + AB² - 2 AD·AB· ( cos D + cosA ) 
                                                               DC = AB 
                                                  cosD +cosA = 2·cos( D +A) /2 ·cos( D-A) /2=
                                                 = 2· cos180⁰ /2   · cos( D - A ) /2  = 
                                                 = 2 · cos90⁰ · cos ( D -A ) /2  =0
⇒   d₁² + d₂² = BC² + DC² + AD² + AB²