Question

Sa se demonstreze ca nr 2^2n+1 • 25^n+7 este divizibil cu 9 pt oricare valoare naturala a lui n​

Answer 1

Răspuns:

Se demonstrează prin inducție.

Fie propoziția

$P(n): \ 2^{2n+1}\cdot 25^n+7 \ \vdots \ 9, \ \forall n\in\mathbb{N}$

Verificăm pentru n = 0:

$P(0): 2\cdot 1+7=9 \ \vdots \ 9$

Presupunem P(k) adevărată și demonstrăm P(k+1):

$2^{2n+3}\cdot 25^{n+1}+7 \ \vdots \ 9$

$2^{2n+3}\cdot 25^{n+1}=4\cdot 2^{2n+1}\cdot 25\cdot 25^n}=100\cdot 2^{2n+1}\cdot 25^n+7=\\=(2^{2n+1}\cdot 25^n+7)+99\cdot 2^{2n+1}\cdot 25^n=9k+9m=9p \ \vdots \ 9$

Deci și P(k+1) este adevărată, deci P(n) este adevărată pentru orice n natural.

Explicație pas cu pas:

Answer 2

Am atașat rezolvarea.