Question

Sa se demonstreze ca nr a=radical din 7 + 4radical din 3 (sub acelasi radical ambele)+ radical din 7 - 4radical din 3 (sub acelasi radical ambele) este numar natural

Answer 1

7+4√3=7+2·2·√3=2²+2·2·√3+(√3)²=(2+√3)²
7-4√3=(2-√3)²
a=I 2+√3 I+I 2-√3 I =2+√3+2-√3=4∈N,unde 2+√3>0 si 2-√3>0

Answer 2

Exista o formula (formula radicalilor compusi) : $\sqrt{a+ \sqrt{b} }= \sqrt{ \frac{a+c}{2} }+ \sqrt{ \frac{a-c}{2} }$
sau $\sqrt{a- \sqrt{b} }= \sqrt{ \frac{a+c}{2} }- \sqrt{ \frac{a-c}{2} }$
unde $c= \sqrt{ a^{2}-b }$
 
$\sqrt{7+4 \sqrt{3} } = \sqrt{7+ \sqrt{48} } = \sqrt{ \frac{7+1}{2} } + \sqrt{ \frac{7-1}{2} }=2+ \sqrt{3}$
$\sqrt{7-4 \sqrt{3} } = \sqrt{7- \sqrt{48} }= \sqrt{ \frac{7+1}{2} } - \sqrt{ \frac{7-1}{2} } =2- \sqrt{3}$
$2+ \sqrt{3}+2- \sqrt{3}=4$
4∈|N⇒ q.e.d

Sper ca te-am ajutat! :D