Question

Sa se demonstreze ca numarul 2001^0+2001^1+...............+2001^2001 nu este patrat perfect.

Answer 1

Stim ca un patrat perfect poate avea ultima cifra 0, 1, 4, 4, 5, 9, deci nu poate avea ca ultima cifra 2, 3, 7 sau 8.

2001 la orice putere va avea mereu ultima cifra 1 (Pentru ca mereu se va inmulti 1 cu 1 si va da tot 1)
Asta inseamna ca pentru fiecare 2001 din acea suma are ultima cifra 1.
Vom aduna doar ultimele cifre:
S = 1 + 1 + 1 + ... + 1 (de 2002 ori)
S = 2002 * 1 = 2002 - Are ultima cifra 2 ==> Conform celor spuse mai sus, nu este patrat perfect.