Question

Sa se demonstreze ca parabola functiei f:R->R, f(x)=x²-4x+4 este tangenta axei Ox.

Answer 1

Stim ca punctele de intersectie cu Ox reprezinta solutiile pentru f(x) = 0 (asta pentru orice functie). Numarul de intersectii cu Ox reprezinta numarul de solutii reale.
Daca parabola este tangenta la Ox, inseamna ca se intersecteaza exact intr-un punct, asadar, ecuatia f(x) = 0 are o singura solutie.(reciproca e adevarata)

x² - 4x + 4 = 0
x² - 2x - 2x + 4 = 0
x(x - 2) -2(x - 2) = 0
(x - 2)² = 0  ==> x = 2  -  este singura solutie

Alta metoda:
Δ = b² - 4ac = 16 - 16 = 0  ==>  Ecuatia are o singura solutie

De aici rezulta ca parabola este tangenta la Ox.

Answer 2

f(x) = x²-4x+4

Parabola este tangenta axei Ox daca si numai daca, functia de gradul 2 este patrat perfect.

Putem demonstra asta fie aratand faptul ca f(x) se poate scrie ca o functie toata ridicata la patrat, fie aratand ca Delta = 0.

Noi alegem metoda 1 ca e mai rapida:

f(x) = (x-2)² → patrat perfect.
=> f(x)=x²-4x+4 este tangenta axei Ox.