Question

     Sa se demonstreze ca patrulaterul MNPQ cu varfurile M(2;0), N(6;4), P(4;6), Q(0;2) este dreptunghi.

Answer 1

Mijlocul lui MP are coordonatele (3,3).
Mijlocul lui NQ are coordonatele (3,3)
Deci patrulaterul este paralelogram (digonalele se înjumătățesc)
Folosind formula distanței dintre două puncte se obține
$MP=NQ=2\sqrt{10}$
Paralelogramul cu diagonalele egale este dreptunghi.

Answer 2

Distanta dintre 2 puncte  A(x₁,y₁) si B(x₂,Y₂) este :
AB=$\sqrt{(x2-x1)^2+(y2-y1)^2}$

MN=$\sqrt{(6-2)^2+(4-0)^2} = \sqrt{16+16} =4 \sqrt{2}$

NP=$\sqrt{(4-6)^2+(6-4)^2} = \sqrt{4+4} =2 \sqrt{2}$

PQ=$\sqrt{(0-4)^2+(2-6)^2} = \sqrt{16+16} =4 \sqrt{2}$

QM=$\sqrt{(0-2)^2+(2-0)^2} = \sqrt{4+4} =2 \sqrt{2}$

=> Avem un patrulater MNPQ unde  MN=PQ si NP=OM =>
MNPQ este paralelogram.

Analizam diagonalele:

MP=$\sqrt{(4-2)^2+(6-0)^2} = \sqrt{4+36} =2 \sqrt{10}$

NQ=$\sqrt{(0-6)^2+(2-4)^2} = \sqrt{36+4} =2 \sqrt{10}$

=> MP=NQ=> diagonalele sunt congruente

O proprietate a dreptunghiului este : Daca un paralelogram are diagonalele congruente, atunci el este dreptunghi.