Question

Sa se demonstreze ca pentru n€N* au loc egalitatile: B și C

Answer 1

b)Notez P(n): $\dfrac{1}{1\cdot 3} +\dfrac{1}{3\cdot 5}  +\dots + \dfrac{1}{(2n-1)\cdot (2n+1)}  = \dfrac{n}{2n+1}$, pentru orice n natural nenul.

Pentru n=1 avem: P(1): $\frac{1}{1\cdot 3}  = \dfrac{1}{3}$ (Adevarat).
Pentru n=2 avem: P(2): $\frac{1}{3}+\frac{1}{3\cdot 5}=\dfrac{2}{5}$ (Adevarat)

Presupune ca este adevarata P(k-1), pentru $k \geq 2$. Vreau sa arat ca are loc P(k).
P(k+1):$\dfrac{1}{1\cdot 3} +\dfrac{1}{3\cdot 5}  +\dots + \dfrac{1}{(2k-1)\cdot (2k+1)}  = \dfrac{k}{2k+1} \implies \dfrac{k-1}{2k-1} + \frac{1}{(2k-1)\cdot (2k+1)} =\dfrac{k}{2k+1}$ (adevarat). 

Deci, cum $P(k) \implies P(k+1)$, conform principiului inductiei matematice propozitia P(n) este adevarata, pentru orice n numar natural nenul.

c) se face la fel