Question

Sa se demonstreze ca pentru orice numar real x numerele 5^x-1, 5^x+1 si 9*5^x+1 sunt termeni consecutivi intr-o progresie aritmetica.

Answer 1

Stim ca pentru oricare 3 termeni consecutivi: a, b, c, ai unei progresii aritmetice, media aritmetica dintre primul si al treilea termen este egala cu cel de-al doilea:

$\frac{a+c}{2}=b$

Reciproca este adevarata.

In cazul nostru:

$\frac{(5^x-1)+(9\cdot5^x+1)}{2}=\frac{5^x+9\cdot5^x-1+1}{2}=\frac{10\cdot5^x}{2}=5^1\cdot5^x=5^{x+1}$

Din aceasta egalitate rezulta ca termenii se afla in progresie aritmetica pentru orice numar real x.