Question

Sa se demonstreze ca:

$\sin(a\pm b)=sina\cdot cosb\pm sinb\cdot cosa$

Answer 1

Toate aceste exercitii de calcul a formulelor trigonometrice incep de la demonstratia
$\cos{(\alpha+\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}$
Matepentrutoti spune ca exista o rezolvare trigonometrica pentru acest exercitiu si poate sa-l dea el. Atunci, eu incerc sa o fac cu o rezolvare vectoriala.
Fie triunghiul dreptunghic ABC precum cel din figura de mai jos: AC si BC catete, AB ipotenuza. Semidreapta AE imparte unghiul A in unghiurile alfa si beta. BE este perpendicular pe AE, si EF este perpendicular pe AF iar ED este perpendicular pe BC.
Observam ca DE perpendicular pe BC, AC perpendicular pe BC, atunci DE si AC sunt paralele. Deci AE este secanta a doua segmente paralele, ceea ce inseamna ca unghiurile
$\angle{EAC}=\angle{AED}=\alpha$ sunt egale ca alterne interne
BE perpendicular pe AE, atunci
$\angle{BED}+\angle{AED}=90\Rightarrow \angle{BED}=90-\alpha$
Mai stim ca ED perpendicular pe BC. Atunci triunghiul BDE este dreptunghic in D de unde rezulta ca
$\angle{BED}+\angle{DBE}=90\Rightarrow 90-\alpha+\angle{BDE}=90\Rightarrow \angle{BDE}=\alpha$
Stiind toate acestea atunci putem scrie in fiecare dintre triunghiurile dreptunghice niste relatii vectoriale in functie de vectori. Avem atunci
in triunghiul dreptunghic ABC dreptunghic in C pentru unghiul A
$\cos{A}=\frac{cateta alaturata}{ipotenuza}=\frac{\vec{AC}}{\vec{AB}}$
Dar acea fractie mai poate fi scrisa asa
$\frac{\vec{AC}}{\vec{AB}}=\frac{\vec{AF}-\vec{CF}}{\vec{AB}}=\frac{\vec{AF}}{\vec{AB}}-\frac{\vec{DE}}{\vec{AB}}$ pentru ca in mod clar DE si CF sunt laturi opuse si paralele ale dreptunghiului DCFE si atunci si vectorii lor sunt egali avand aceleasi dimensiuni si directii.
Fiecare dintre aceste fractii pot fi rescrise cu un artificiu.
1) $\frac{\vec{AF}}{\vec{AB}}=\frac{\vec{AF}}{\vec{AE}}*\frac{\vec{AE}}{\vec{AB}}$ Sa ne uitam acum la aceste 2 fractii
Mai intai ne uitam in triunghiul dreptunghic AEF cu unghiul drept E si vedem ca
$\cos{\alpha}=\frac{\vec{AF}}{\vec{AE}}$
apoi ne uitam la triunghiul dreptunghic AEB cu E unghi drept si observam
$\cos{BAE}=\cos{\beta}=\frac{\vec{AE}}{\vec{AB}}$
Deci primul termen al ecuatiei este
$\frac{\vec{AF}}{\vec{AB}}=\cos{\alpha}\cos{\beta}$
2)$\frac{\vec{DE}}{\vec{AB}}=\frac{\vec{DE}}{\vec{BE}}*\frac{\vec{BE}}{\vec{AB}}$
Stim ca in general $\sin=\frac{cateta opusa}{ipotenuza}$ avem atunci
triunghiul dreptunghic BDE cu unghiul D drept atunci
$\sin{DBE}=\sin{\alpha}=\frac{\vec{DE}}{\vec{BE}}$
triunghiul dreptunghic BAE cu unghiul drept E
$\sin{\beta}=\frac{\vec{BE}}{\vec{AB}}$
Atunci avem $\frac{\vec{DE}}{\vec{AB}}=\sin{\alpha}\sin{\beta}$
Deci in final din 1 si 2 avem
$\cos{A}=\cos{(\alpha+\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}$
De aici putem obtine tot felul de alte relatii stiind ca: functia cos este para cos(x)=cos(-x) si functia sin este impara sin(x)=sin(-x). Atunci avem
$\cos{(\alpha+(-\beta))}=\cos{(\alpha-\beta)}=\cos{\alpha}\cos{(-\beta)}-\sin{\alpha}\sin{(-\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta}$
Sa vedem ce se intampla daca inlocuim pe alfa cu -pi/2
$\cos{\frac{\pi}{2}-\beta}=\cos{\frac{\pi}{2}}\cos{\beta}+\sin{\frac{\pi}{2}}\sin{\beta}=\sin{\beta}$ unde m-am folosit de faptul ca sin(90)=1 si cos(90)=0
Ne putem folosi acum de relatia de mai sus sa trecem de la cos la beta in relatia noastra. Am putea scrie
$\sin{(\alpha+\beta)}=\cos{((\frac{\pi}{2}-\alpha)-\beta)}=\cos{(\frac{\pi}{2}-\alpha)}\cos{\beta}+\sin{(\frac{\pi}{2}-\alpha)}\sin{\beta}=\sin{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\beta}\cos{\alpha}$ unde m-am folosit si de relatia inversa care tot asa poate fi demonstrada usor: sin(90-b)=cos(b) $\cos^{2}{(\frac{\pi}{2}-\beta)}+\sin^{2}{(\frac{\pi}{2}-\beta)}=1\Rightarrow \sin^{2}{(\frac{pi}{2}-\beta)}=1-\cos^{2}{(\frac{\pi}{2}-\beta)}=1-\sin^{2}{\beta}=\cos^{2}{\beta}\Rightarrow \sin{(\frac{pi}{2}-\beta)}=\cos{\beta}$
Pentru varianta cu semn schimbat faci ca la cos si tii cont de paritatea lui sin si cos.