Question

Sa se demonstreze ca urmatoarea functie este derivata in punctul x indice 0 si sa se calculeze f '(x idice 0)
f:(0,∞)->R,f (x) = Ln(x^2+2x), x indice 0=1

Answer 1

f este derivabila in x0 daca exista f'(x0) = $\lim_{x \to \ x0} \frac{f(x)-f(x0)}{x-x0}$  si e finita

f'(1) = $\lim_{x \to \ 1} \frac{ln(x^{2}+2x) -ln3}{x-1} = \lim_{x \to \ 1} \frac{ln( \frac{ x^{2}+2x }{3} )}{x-1}=^{l'H} \lim_{x \to \ 1} \frac{2x+2}{ x^{2}+2x }= \frac{4}{3}$

deci f este derivabila in x0 = 1  si f'(1) = $\frac{4}{3}$