Question

Să se demonstreze că următoarele funcții nu admit primitive pe R:
a) f:R->R; f(x)=[x];
b) f(x)= sgnx;

Answer 1

Teorema lui Darboux : daca f:I→R este o functie derivabila pe intervalul I, atunci derivata sa f ' are proprietete lui Darboux (adica f ' trece prin toate valorile intermediare), cum functiile partea intreaga si sgnx-functi de tip Dirichlet nu au proprietatea lui Darboux, el nu pot proveni prin derivarea functiilor derivabile F(x) deci nu pot avea primitive F(x), astfel incat F'=f.