Question

Sa se demonstreze ca urmatoarele numere sunt numere naturale:

a) (2n)!/(n!)²
b) (2n)!/(n-1)!(n+1)!
c) (m+n)!/m!n!
d) (m+n+p)!/m!*n!*p!

Answer 1

a) inductie matematica completa:

n=0: 0!/(0!)^2 = 1/1 = 1∈N

n=1: 2!/1!^2=2/1=2∈N

n=2: 4!/(2!)^2 = 2.3.4/ 2^2 * 2^2 = 6/4 ∉ N si aici s-a spart, nu este valabila afirmatia.

n=3: 6! / (3!)^2 = 2.3.4.5.6 / 2^2.3^2 ∈ N

----------------------------------

Dar pasul de inductie de la n la n+1 nu se adevereste, nici el

2(n+1)! / [(n+1)!]^2 = 2n!(2n+1)(2n+2) / (n!)^2 . (n+1)^2

T.D. ca 2(2n+1)(n+1) / (n+1)^2 = 2(2n+1) / n+1 ∈N care nu e adevarata, de ex pt n=2: 2.5/3, si este fals si pentru alte valori.

Deci concluzia: afirmatia este FALSA.

b) n=2: 4!/0! . 3!=4∈N

n=3: 6! / 2!.3! = 4.5.6/2 ∈N

------------------------------

pp adevar pt n si

VD pt n+1:

n--->n+1

(2(n+1))! / n!.(n+2)! = 2n!/(n-1)!(n+1)! * (2n+1)(2n+2)/n(n+1)

VD ca (2n+1)(2n+2)/n(n+1) ∈ N

(2n+1)(2n+2)/n(n+1) = 2(2n+1)/n ∉ N, de ex pt n=5: 2.11/5

Deci nu se poate face pasul de inductie nici aici, deci afirmatia este FALSA.

Dupa doua afirmatii false, eu ma opresc aici.

Daca altcineva vrea sa incerce, sunt si eu curios sa vad o alta solutie.