Question

Sa se demonstreze ca x^e este < sau = cu e^x pentru orice x>0. Functia este f(x)= lnx/x f: (0, +infinit) -> R

Answer 1

x^e ≤ e^x

ln(x^e) ≤ ln(e^x)

elnx ≤ xlne

elnx ≤ x

e ≤ x/lnx

1/e ≥ lnx/x

=> lnx/x ≤ 1/e

f(x) = lnx/x

f'(x) = (1-lnx)/x²

=> (1-lnx) = 0 => x = e

f'(x) > 0, cănd x < e

f'(x) < 0, când x > e

=> f(x) crește până la f(e) si scade de la f(e) in colo.

=> fmax = f(e) => fmax = lne/e = 1/e

=> f(x) ≤ 1/e => lnx/x ≤ 1/e =>

=> x^e ≤ e^x