Question

Să se demonstreze următoarele egalității prin metoda inducției matematice

Answer 1

Răspuns:

$1^{2} + 3^{2} + 5^{2} + ... + (2n-1)^{2} = \frac{n(4n^{2} -1)}{3}$

Explicație pas cu pas:

1. Verificăm dacă formula se aplică pentru n = 1:

$1^{2} = \frac{1(4-1)}{3} = 1$ ⇒ Formula este corectă pentru n = 1

2. Presupunem că pentru n formula este corectă și încercăm să demonstrăm că formula este corectă și pentru n+1

Adică trebuie să demonstrăm următoarea egalitate:

$1^{2} + 3^{2} + 5^{2} + ... + (2n-1)^{2} + [2(n+1) - 1]^{2} = \frac{(n+1)[4(n+1)^{2} -1]}{3}$

Ne ocupăm de membrul drept și îl dezvoltăm:

$\frac{(n+1)[4(n+1)^{2} -1]}{3} = \frac{(n+1)(4n^{2} + 8n + 4 -1)}{3} = \frac{(n+1)(4n^{2} + 8n+3)}{3} = \frac{4n^{3} +8n^{2} + 3n + 4n^{2} + 8n + 3}{3} = \frac{4n^{3} + 12n^{2} + 11n + 3}{3}$

Acum ne ocupăm de membrul stâng: facem calculele din ultima paranteză

$1^{2} + 3^{2} + 5^{2} + ...+(2n-1)^{2} + (2n+1)^{2} =$

înlocuim partea până la (2n-1)² conform formulei din enunț, deoarece presupunem că este adevărată:

$= \frac{n(4n^{2} - 1)}{3} + (2n+1)^{2}$

$= \frac{4n^{3} - n + 3(4n^{2} +4n + 1)}{3}$   - am adus la numitor comun

$= \frac{4n^{3} - n + 12n^{2} + 12n + 3}{3}$

$= \frac{4n^{3} + 12n^{2} + 11n + 3}{3}$

După cum se observă, am adus membrul din stânga la aceeași expresie ca și membrul din dreapta, ceea ce înseamnă că formula este corectă.

Ceea ce trebuia demonstrat.