Question

Sa se demonstsreze ca intr-un triunghi oarecare au loc relatiile:
a) sin²A + 2sinBsinCsinA=sin²B+sin²C
b) (a+b)cos C+(b+c)cosA+(a+c)cosB=a+b+c
c) (bc*cosA+ca*cosB+ab*cos C)/(a*sinA+b*sinB+c*sinC)=R

Answer 1

a.        a/sinA =2R               sinA = a /2R
E₁= a² / 4R² + 2·a/2R ·b/2R ·c /2R = a² /4R²  + abc /4R³= 
E₂=b² /4R² + c²/4R²= ( b² +c² ) /4R²
b.  teorema proiectiilor 
a = bcosC +c cosB
b =c·cosA +a ·cosC
c =a·cosB + b·cosA 
 a· cosC + b·cosC + b·cosA +c·cosA +a·cosB +c·cosB = 
=b·cosC + c·cosB + c·cosA + a·cosC + a·cosB + b·cosA = a+b+c
c. (  b² +c² -a²  + a²+c²-b² + a²+b² -c² ) /2
----------------------------------------------------------
         (a·a/2R  + b·b /2R + c·c / 2R) 
= ( a² +b² +c² ) /2 
-------------------------------- = R
· ( a² +b²+c² ) /2R