Question

Sa se determine a,b reale pentru care functia f:[0,2]->[-1,3], f(x)=ax+b, este bijectiva.

Answer 1

injectiva  daca  : f(x₁) = f(x₂) ⇒       x₁ = x₂                 ; cu  x₁ , x₂ ∈ [0 ; 2 ] 
                          ax₁ + b = ax₂ + b         ;  ax₁ - ax₂ = 0 
                                                               a ( x₁ - x₂) = 0 daca   a≠0
surjectiva  : ∀ y ∈ [ - 1 ; 3 ]  atunci exista  x∈[0 ; 2 ]  ca
                                              y = ax+ b 
ax = y -b 
x = ( y - b) /a                    cu y∈ [-1 ; 3 ] 
                     -1  ≤ y ≤ 3  scadem b 
                    -1 - b  ≤ y - b ≤ 3 - b     impartim cu  a 
                    ( -1 - b) /a  ≤ ( y - b) /a ≤ ( 3 - b) / a 
cu  ( -1 - b) /a = 0          ⇒ -1 - b = 0            ;  b = - 1
                                                         ( 3-  b ) /a = 2 
                                                            3 - b = 2a 
                                                             3 -  ( -1) = 2a 
                                                                2a = 4             ;  a = 2 
f(x ) = 2x  - 1