Question

Să se determine a, b ş n € N ştiind că a=7n+6 b=6n+7 , (a,b) e diferit de 1 şi [a,b]= 728.

Answer 1

Fie d ∈ N cel mai mare divizor comun al lui a si b.

(a, b) = 13

d | a ==> d | 7n + 6 (1)

d | b ==> d | 6n + 7 (2)

Din proprietatile divizibilitatii stim ca putem scadea relaiile (1) si (2):

d | (7n + 6) - (6n + 7)

d | n - 1

Inmultim cu 6 ==> d | 6n - 6 (3)

Scadem relatia (3) din relatia (2):

d | (6n + 7) - (6n - 6)

d | 13 ==> d este un divizor natural al lui 13

Stim din ipoteza ca d ≠ 1

Singurul divizor natural al lui 13 este 13 ==> d = 13 ==> (a, b) = 13

Avem urmatoarea relatie:

(a, b) * [a, b] = ab ==> ab = 13 * 728 = 2³ * 13² * 7

(7n + 6) * (6n + 7) = 9464 = 2³ * 13² * 7

Prin incercari repetate ale lui n se gaseste n = 14:

(7 * 14 + 6) * (6 * 14 + 7) = 104 * 91 = 9464

a = 104

b = 91