Question

Să se determine a € R* pentru care (a-3)x^2-ax-a<0, oricare ar fi x € R.
Vă rog să mă ajutați la acest exercițiu, explicându-mi-l pas cu pas.

​

Answer 1

Răspuns:

a∈(0;12/5)

Explicație pas cu pas:

Aici ”ceri ajutor” de la proprietățile funcției de gradul 2, f(x)=(a-3)x²-ax-a.

Graficul funcției este parabolă. Din condiție, ⇒ f(x)<0 pentru ∀x∈R, deci funcția primește numai valori negative pentru orice x∈R. De aici reese că parabola este orientată cu ramurile în jos și e situată sub axa Ox, fără a o intersecta. Pentru a fi așa, trebuie să se respecte două condiții:

a-3 <0 (1)  și  Δ<0. (2)

Δ=(-a)²-4·(a-3)·(-a)=a²+4a(a-3)=a(a+4(a-3)=a(a+4a-12)=a(5a-12)

( sau Δ=5a²-12a).

Deci a(5a-12)<0, ⇒ a∈(0; 12/5)  (3), Expresia 5a²-12a<0 între soluțiile ecuației 5a²-12a=0, care sunt x=0 și x=12/5

Din condiția (1), ⇒ a<3. (4) Din (3), (4), ⇒a∈(0;12/5).

Răspuns: a∈(0;12/5)