Question

Sa se determine a∈R pentru care f:R⇒[a,∞), f(x)=x²-6x este surjectiva.

Answer 1

Salut,

O funcție este surjectivă, dacă domeniul de valori pe care le ia funcția coincide perfect cu codomeniul ei.

Codomeniul ei în acest caz este intervalul de valori reale [a,  +∞).

Aflăm domeniul de valori:

Coeficientul lui x² este 1 > 0, deci reprezentarea grafică a funcției de gradul al II-lea din enunț este o parabolă cu "brațele" orientate în sus.

Valoare minimă a funcției este:

$\dfrac{\Delta}{4a},\ unde\ \Delta=b^2-4ac=(-6)^2-4\cdot 1\cdot 0=36,\ deci\ \Delta=36,\ iar\ 4a=4\cdot 1=4.$

Valoarea minimă este deci:

$-\dfrac{36}4=-9.$

Funcția ia deci valori în intervalul real [--9, +∞).

Din cele de mai sus, avem că a = --9.

Ai înțeles rezolvarea ?

Green eyes.

Answer 2

O funcție este surjectivă dacă pentru orice element y aparținând codomeniului, există un element x aparținând domeniului astfel încât f(x) = y SAU imaginea funcției este egală cu codomeniul.

În termeni matematici:

f(x) = surjectivă ⇔ $\forall$ y ∈ [a, ∞) $\exists$ x ∈ R a.î. f(x) = y SAU Imf = [a, ∞)

f(x) = x² - 6x

• Observăm că este o ecuație de gradul al doilea.

x² - 6x + 0 = y

• a = 1
• b = -6
• c = 0

Δ = b² - 4ac

Δ = (-6)² - 0

Δ = 36

Scriem formula imaginii funcției pentru a > 0:

$\displaystyle{a>0 \rightarrow Imf = [\frac{-\Delta}{4a}, \infty) }$

$\displaystyle{ \frac{-\Delta}{4a} = \frac{-36}{4} = -9 }$

Rezultă imaginea funcției este [-9, ∞), care este egală cu codomeniul.

Deci, a = -9.