Question

Să se determine a € |R pentru care punctele A(1,-2), B(4,1) și C(-1,a) sunt coliniare.
Vă rog frumos să-mi explicați.​

Answer 1

Determinăm ecuația dreptei AB.

Punem condiția  C ∈ AB.

$\it (AB):\ \dfrac{y-y_A}{y_B-y_A} = \dfrac{x-x_A}{x_B-x_A}\ \Rightarrow \dfrac{y-(-2)}{1-(-2)}=\dfrac{x-1}{4-1} \Rightarrow \\ \\ \\ \Rightarrow \dfrac{y+2}{3} =\dfrac{x-1}{3} \Rightarrow y+2=x-1 \Rightarrow y=x-3$

$\it C(-1,\ a)\in\ AB \Rightarrow a=-1-3 \Rightarrow a=-4$

Answer 2

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

varianta 1, a mea si cea mai buna (gluma)  merge si la gimnaziu, si la Liceu, deci si la...BAAAAAC!!

din desen sau la "inspiratie"  se observa , sau "presupunem" ca ecuatia dreptei AB este

y=x-3

verificare  prin calcul

intr-adevar 1-3=-2 deci A apartine Graficului

si

4-3=1, deci B apartine graficului

cum prin 2 puncte trece o dreapta si numai una, inseamna ca ecuatia este EXACT y=x-3  (sau, implicit, ca la geome analitica , x-y-3=0)

atunci punand conditia

a=-1-3 obtinem

a=-4

care se observa si pe grafic

pe grafic in plus este trasata dreapta x=-1 a carei intersectie cu y=x-3 ne da C(-1;-4)

varianta 2, gimnaziu, cea mai laborioasa

scrii un sistem in care A  si B se afla pe graficul functiei

y=ax+b cu a si b necunoscute

-2=a*1+b si

1=a*4+b

rezolvand sistde 2 ec cu 2 nec, obtiia=1, b=-3

functia este y=x-3, de unde procedezi ca mai sus cu xC=-1, deci yC=-1-3=

=-4=a

varianta 3, Liceu

pui conditia ca aria triunghiului ABC sa fie  0 (triunghiul e "degenerat" in un segment

|x y 1|

|1-2 1|  aceste DETERMINANT=0

|-1 a 1|

rezolvand obtii o ec de grad1  cu nec a, si solutia a=-4