Question

sa se determine aria regiunii cuprinse intre graficul functiei si axa ox
f(x)=x^{2} -4
Nu stiu cum sa fac din cauza faptului ca nu stiu domeniul. Presupun ca ar fi R
Multulumesc !!!

Answer 1

Domeniul de definitie poate fi R.
Functia f are gradul 2 => graficul functiei f este o parabola.
Coeficientul lui x^2 este a=1>0 => parabola are ramurile "in sus". (1)
Delta = b^2-4×a×c=0^2-4×1×(-4)=16 > 0 => parabola intersecteaza axa OX in doua puncte distincte ale caror abscise sunt radacinile ecuatiei f(x)=0. (2)
f(x)=0=>x^2-4=0=>x^2=4=>x€{-2;2}=> x1=-2; x2=2. Asadar, rezolvand ecuatia f(x)=0 obtinem solutiile x1=-2; x2=2 (3)
Din relatiile (1);(2);(3) => aria regiunii cuprinse intre graficul functiei si axa OX este acea parte a parabolei, aflata sub axa OX, care uneste punctele x1=-2 si x2=2 aflate pe axa OX.
Graficul parabolei se afla sub axa OX, pe intervalul (-2;2)=>f(x)<0 pe (-2;2)=>lf(x)l=-f(x) pe
(-2;2).
Aria regiunii cuprinse intre graficul functiei si axa OX =
integrala de la -2 la 2 din l f(x) l dx =
integrala de la -2 la 2 din -f(x) dx =
integrala de la -2 la 2 din -(x^2-4) dx=
integrala de la -2 la 2 din -x^2+4 dx=
( -x^3/3+4×x ) /de la -2 la 2 = ( -2^3/3+4×2 ) - ( -(-2)^3/3+4×(-2) ) = (-8/3+8) - ( -(-8)/3-8 ) = -8/3+8 - ( 8/3-8 ) = -8/3+8-8/3+8 = -16/3 + 16 = -16/3 +16/1 = -16/3+48/3 = 32/3