Question

Să se determine asimptota obligă a funcției f : D -> R, în cazul :

Answer 1

Asimptota oblica a unei funcitii este:

$y=mx+n$

Unde m si n sunt date de formulele:

$m=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}(\frac{f(x)}{x}), \ m\neq0\\\\n=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}(f(x)-mx), \ n\in R$

Conditiile de existenta sunt: cea a radicalului si cea a numitorului:

$x\geq 0\\\\1+\sqrt{x}\neq 0\rightarrow \sqrt{x} \neq -1 \rightarrow x \in R$

Domeniul este: D = [0, ∞). Asadar, nu putem avea asimptote decat la +∞ deoarece -∞ nu este punct de acumulare al domeniului.

Calculam m si n. Voi calcula limitele folosind metoda factorului comun fortat.

$m=\lim_{x\rightarrow\infty}(\frac{\frac{x\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}}{x})=\lim_{x\rightarrow\infty}(\frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}})=\lim_{x\rightarrow\infty}(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}(\frac{1}{\sqrt{x}}+1)})=\\\\=\lim_{x\rightarrow\infty}(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}(0+1)})=1\neq 0$

$n=\lim_{x\rightarrow\infty}(\frac{x\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}-1\cdot x)=\lim_{x\rightarrow\infty}(\frac{x\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}-\frac{x(1+\sqrt{x})}{1+\sqrt{x}})=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x\sqrt{x}-x-x\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}=\\\\=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{-x}{\sqrt{x}(\frac{1}{\sqrt{x}}+1)}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{-x}{\sqrt{x}(0+1)}=\lim_{x\rightarrow\infty}(-\sqrt{x})=-\infty\not\in R$

Asadar, nu exista asimptota oblica la +∞.