Question

sa se determine cea mai mica valoare a numarului natural n,pentru care numarul a=n ori 1+n ori 5+ n ori 9+...+ n ori 397 este patrat perfect

Answer 1

a=n*1+n*5+n*9+...+n*397  este patrat perfect.

Aducem a la o forma de produs, ca sa putem analiza puterile factorilor. (Stim ca daca un numar prim divide un patrat perfect, atunci el apare la o putere para in descompunerea in factori primi a patratului perfect)

a=n*1+n(1+1*4)+n(1+2*4)+...+n(1+99*4)=
 =n*100+n*4(1+2+3+...+99)  Folosim formla Sumei lui Gauss pentru suma din paranteza:
a=n*100+n*4*$\frac{99*100}{2}$
=n*100+n*2*99*100=
=n*100(1+198)=n*100*199=$10^{2}$*n*199=$2^{2} * 5^{2}$*n*199

Cum 199 este numar prim, iar a este patrat perfect, inseamna ca n=199*k, unde k>=1 si k trebuie sa fie, la randul lui, patrat perfect. Cum n trebuie sa fie cel mai mic posibil, inseamna ca luam k=1, cea mai mica valoare posibila pentru k, deci n=199.