Question

Sa se determine coeficientul lui x^6 din produsul: (1+x^2)^200 * (1-x^3)^300. Va rog ajutati-ma!

Answer 1

Dezvoltând după formula binomului lui Newton, avem:

$\displaystyle\left(\sum_{k=0}^{200}C_{200}^kx^{2k}\right)\cdot\left(\sum_{p=0}^{300}C_{300}^p(-1)^{3p}x^{3p}\right)=$

$\\ \displaystyle =\sum_{k=0}^{200}\sum_{p=0}^{300}(-1)^{3p}C_{200}^kC_{300}^p\cdot x^{2k+3p}$

Acum trebuie doar să găsim perechi de numere (k,p) în așa fel încât $2k+3p=6$ , să calculăm coeficienții și să-i adunăm.

Din câte văd eu, sunt doar două perechi posibile: (0,2)  și  (3,0), coeficienții fiind:

(1) $(-1)^{3\cdot 2}C_{200}^0C_{300}^2$

(2) $(-1)^0C_{200}^3C_{300}^0.$

Calculezi astea două chestii, le aduni și ai obținut răspunsul !