Question

Sa se determine comutativitatea, asociativitatea si elementul neutru la urmatoarele intrebari din imagine

Answer 1

prima lege de compozitie: x ⊥ y = 2x+2y

a) legea este comutativa daca x ⊥ y = y ⊥ x

x⊥y = 2x+2y = 2(x+y) (1)

y⊥x = 2y+2x = 2(y+x) (2)

Din 1 si 2, legea intr-adevar este comutativa

b) legea este asociativa daca (x⊥y)⊥z = x⊥(y⊥z)

(x⊥y)⊥z = a⊥z = 2a+2z = 2(2x+2y)+2z = 4x+4y+2z (1)

x⊥(y⊥z) = x⊥b = 2x+2b = 2x+2(2y+2z) = 2x+4y+4z (2)

Din 1 si 2, legea nu este asociativa

c) Exista un element neutru, e, daca x⊥e = e⊥x = x

x⊥e = 2x+2e

2x+2e = x

x+2e = 0

2e = -x

e = -x/2

a doua lege de compozitie: x*y = x+y+xy

a) comutativitatea

x*y = x+y+xy (1)

y*x = y+x+yx (2)

Din 1 si 2, legea este comutativa

b) asociativitatea

(x*y)*z = a*z = a+z+az = x+y+xy+z+(x+y+xy)z = x+y+xy+z+xz+yz+xyz (1)

x*(y*z) = x*b = x+b+xb = x+y+z+yz+x(y+z+yz) = x+y+z+yz+xy+xz+xyz (2)

Din 1 si 2, legea este asociativa

c) elementul neutru

x*e = x+e+xe

x+e+xe = x

e+xe = 0

e(1+x) = 0

e = 0