Question

Sa se determine coordonatele capetelor unui segment stiind ca punctele M(-1,1) si N(-3,4) impart segmentul in trei parti egale.

Answer 1

Fie A(a, b) si B(c, d) capetele segmentului.

AM = MN  = NB (trei parti egale)

Calculam lungimile segmentelor:
[tex]AM= \sqrt{(x_A-x_M)^2+(y_A-y_M)^2}= \sqrt{(a+1)^2+(b-1)^2}\\ MN = \sqrt{(-1+3)^2+(4-1)^2}= \sqrt{13} \\ NB= \sqrt{(c+3)^2+(d-4)^2} [/tex]

[tex]\sqrt{(a+1)^2+(b-1)^2}=\sqrt{(c+3)^2+(d-4)^2}=\sqrt{13}\\ (a+1)^2+(b-1)^2=13\\ (c+3)^2+(d-4)^2=13[/tex]

Mai stim ca A, B, M si N se afla toate pe aceeasi dreapta.
Putem afla ecuatia dreptei in functie de M si N., folosind ecuatia carteziana:

[tex] \frac{x-x_M}{x_N-x_M} = \frac{y-y_M}{y_N-y_M}\\\\ \frac{x+1}{-3+1} = \frac{y-1}{4-1}\rightarrow 3(x+1)=-2(y-1)\\ \\ 3x+3=2-2y\\ d:3x+2y+1=0 [/tex]

Daca A si B apartin dreptei d  ==>  Coordonatele punctelor verifica ecuatia dreptei:

[tex]3a+2b+1=0\rightarrow b= \frac{-3a-1}{2}\\ 3c+2d+1=0\rightarrow d= \frac{-3c-1}{2} [/tex]

Ii inlocuim pe b si d:

[tex](a+1)^2+( \frac{-3a-1}{2} -1)^2=13\\ (a+1)^2+( -\frac{3a+3}{2})^2=13\\ a^2+2a+1+ \frac{9a^2+18a+9}{4}=13\\ 4(a^2+2a+1)+9a^2+18a+9=13\cdot4\\ 13a^2+26a+13=52\\ a^2+2a+1=4\\ (a+1)^2=4\rightarrow a+1=\pm2\\ a\in\{-3,1\}\\ b= \frac{-3a-1}{2}\rightarrow (a,b)\in \{(-3,4),(1,-2)\} [/tex]

I-am calculat doar pe a si b, dar nu mai are rost sa-i calculam pe c si d: motivul pentru care am gasit 2 solutii, deoarece punctele A si B isi pot schimba, locurile.

Asadar punctele au coordonatele (-3, 4) si (1, -2)