Question

Să se determine elementele mulțimii:
A={x apartine lui Z | ((x^2-3x+8)/(x-2)) aparține lui Z}​

Answer 1

Răspuns:

A = {-4; -1; 0; 1; 3; 4; 5; 8}

Explicație pas cu pas:

Trebuie să găsim pe x astfel încât x² - 3x + 8 să fie multiplu pentru x-2

$\frac{x^{2}-3x + 8 }{x-2} = \frac{x^{2}-2x -x +8 }{x-2} = \frac{x(x-2)}{x-2} + \frac{-x+8}{x-2}$  

Este evident că x(x-2) este multiplu pentru x-2, așa încât ne concentrăm pe termenul al doilea al adunării de mai sus, adică

-x+8 trebuie să fie multiplu pentru x-2

$\frac{-x+8}{x-2} = \frac{-x+2}{x-2} + \frac{6}{x-2} = \frac{-(x-2)}{x-2} + \frac{6}{x-2}$

Același raționament ca mai sus: primul termen al adunării este număr întreg, așa încât ne concentrăm atenția asupra termentului al doilea, și anume:

6 trebuie să fie multiplu pentru x-2  (sau x-2 trebuie să fie divizor al lui 6)

Divizorii lui 6 sunt: ±1; ±2; ±3 și ±6

Le luăm pe rând:

x-2 = 1 ⇒ x = 3

x-2 = -1 ⇒ x = 1

x-2 = 2 ⇒ x = 4

x-2 = -2 ⇒ x = 0

x-2 = 3 ⇒ x = 5

x-2 = -3 ⇒ x = -1

x-2 = 6 ⇒ x = 8

x-2 = -6 ⇒ x = -4