Question

Să se determine elementele multimii : {x apartine R / x=a+ 1/a ; a apartine R*}. Urgent, va rog

Answer 1

A = {x ∈ R| x = a + 1/a;  a ∈ R*} 

Rezolvăm ecuația x = a + 1/a , cu necunoscuta a ∈ R*.


[tex]\it x= a+\dfrac{1}{a}|_{\cdot a} \Rightarrow ax =a^2+1 \Rightarrow a^2-ax+1=0 \\\;\\ \\\;\\ \Delta =x^2-4 \geq0 \Rightarrow x^2-2^2 \geq0 \Rightarrow (x-2)(x+2) \geq 0 \Rightarrow \\\;\\ \\\;\\ \Rightarrow x\in \mathbb{R}^*\backslash (-2,\ 2)[/tex]

Prin urmare, mulțimea dată este :

A = (∞, -2) ∪ (2, ∞)
--------------------------

Altă soluție :

$\it a\in\mathbb{R}^* \Longrightarrow a\ \textless \ 0\ \ sau\ \ a\ \textgreater \ 0$


I) Pentru oricare a < 0, vom arăta că  a + 1/a  ≤ -2

 Înmulțim inecuația cu a, negativ, care va schimba sensul inegalității:

a + 1/a  ≤ -2 |·a ⇔ a² + 1 ≥ -2a  ⇔ a² +2a +1 ≥ 0 ⇔ (a + 1) ≥ 0 (Adevărat)

II)  Pentru oricare a > 0, vom arăta că  a + 1/a ≥ 2

a + 1/a ≥ 2 |·a ⇔ a² + 1 ≥ 2a  ⇔ a² - 2a +1 ≥ 0 ⇔ (a - 1) ≥ 0 (Adevărat)

Deci, pentru oricare număr a real nenul, avem că:

a+1/a ≤ -2 sau  a+1/a ≥ 2  și cum a+1/a = x din enunț, 

obținem mulțimea  A = (∞, -2) ∪ (2, ∞)