Question

Sa se determine functia de gradul al doilea al carei grafic este tangent la axa Ox in punctul (1,0) si trece prin punctul (0,2). Rog rezolvare explicita impreuna cu formulele folosite.

Answer 1

definitie  f(x) = ax² +bx +c       cu a ≠ 0         ; a,b,c ∈R 

tg axei Ox daca Δ =0             varf  ( 1 , 0 )
x varf = - b /2a             ; - b /2a = 1            ; b = - 2a 
y  varf  = - Δ /4a  = 0   ;   b² -4ac = 0          ; ( -2a)² - 4a ·2 = 0 
                                                                 4a ² - 8a = 0
 4a · ( a -2) = 0           a= 0 fals        ; a = 2                                                 
f( 0)  = 2                   ;                         c = 2                                     
 a = 2 - b 
                                                           b = - 2 ·2 = - 4 
f(x) = 2x² -4x + 2

Answer 2

$f(x)=ax^2+bx+c;\ a \neq 0 \\ \Delta=b^2-4ac \\ \hbox{Grafic tangent la OX in (1,0) deci varful are coordonatele (1,0)} \\ X_V= \frac{-b}{2a} \\ Y_V= \frac{-\Delta}{4a} \\ \\ \frac{-b}{2a}=1\Rightarrow-b=2a \\ \frac{-\Delta}{4a}=0 \Rightarrow \Delta=0 \Rightarrow b^2=4ac \\ \left \{ {{b=-2a} \atop {b^2=4ac}}$
$f(0)=2\Rightarrow c=2 \\ b^2=4ac \Leftrightarrow b^2=8a \\ b=-2a \Rightarrow b^2=4a^2 \\ 8a=4a^2 \\ 4a^2-8a=0 \\ a^2-2a=0 \\ a=2\ sau\ a=0\\ \hbox{Dar functia are grad 2 deci a nu poate fi 0} \\\\\\ a=2 \\ b=-4 \\ c=2 \\ \\ f(x)=2x^2-4x+2$