Să se determine funcţia f de gradul întâi, pentru care f ( f (x)) = 2 f (x) +1, oricare ar fi x apartine lui R
Răspunsuri la întrebare
Răspuns de
20
f:R->R, f(x)=ax+b, unde a,b nr reale cu a diferit de 0.
f(f(x))=2f(x)+1 <=> f(ax+b)=2(ax+b)+1 <=> a(ax+b)+b=2ax+2b+1 <=> (a^2)x+ab+b=2ax+2b+1 <=> (a^2-2a)x+ab-b-1=0, oricare ar fi x real. => a^2-2a=0 si ab-b-1=0.
a^2-2a=0 <=> a(a-2)=0 <=> a=0 sau a=2.
Cum a este nenul, deducem a=2.
a=2 => 2b-b-1=0 <=>b=1.
Deci f(x)=2x+1.
f(f(x))=2f(x)+1 <=> f(ax+b)=2(ax+b)+1 <=> a(ax+b)+b=2ax+2b+1 <=> (a^2)x+ab+b=2ax+2b+1 <=> (a^2-2a)x+ab-b-1=0, oricare ar fi x real. => a^2-2a=0 si ab-b-1=0.
a^2-2a=0 <=> a(a-2)=0 <=> a=0 sau a=2.
Cum a este nenul, deducem a=2.
a=2 => 2b-b-1=0 <=>b=1.
Deci f(x)=2x+1.
gigelmarga:
Sau, notând f(x)=t, atunci t parcurge R și relația f(f(x))=2f(x)+1 devine f(t)=2t+1. Formula e, desigur, valabilă pentru orice t real, deoarece știm că funcția f
e de gradul I.
frumos
Alte întrebări interesante
Chimie,
8 ani în urmă
Matematică,
8 ani în urmă
Engleza,
8 ani în urmă
Informatică,
9 ani în urmă
Limba română,
9 ani în urmă
Matematică,
9 ani în urmă
Studii sociale,
9 ani în urmă