Question

Să se determine Im f pentru următoarele funcții:

Answer 1

Im f = imaginea funcției f = intervalul de valori pe care le poate primi f(x)

a)  f : R → R, f(x) = |x - 1|

fiind vorba de modulul unei expresii, f(x) ≥ 0, oricare ar fi x ∈ R

verificăm minimul modulului  |x - 1|

f(x) = |x - 1| = 0

x - 1 = 0

x = 1 ∈ R

⇒ $\displaystyle Im\ f=\left[0;\ +\infty\right)$

Se poate verifica și trasând graficul funcției f(x).

c)

notăm f(x) cu y și aflăm ce valori poate avea y

$\displaystyle \frac{x^{2}-3x+2 }{x^{2} +x+1} =y$

x² - 3x + 2 = y·(x² + x + 1)

x² - 3x + 2 = yx² + yx + y

x²·(1 - y) + x·(-3 - y) + (2 - y) = 0

Pentru ca ecuația să aibă soluții, punem condiția Δₓ ≥ 0

Δₓ = b² - 4ac = (-3 - y)² - 4·(1 - y)·(2 - y) = 9 + 6y + y² - 4·(2 - y - 2y + y²) = 9 + 6y + y² - 8 + 12y - 4y² = - 3y² + 18y + 1

Δₓ ≥ 0  ⇔  - 3y² + 18y + 1 ≥ 0

-3 < 0  ⇒  f(y) =- 3y² + 18y + 1 ≥ 0 între rădăcinile ecuației

- 3y² + 18y + 1 = 0

Δ = b² - 4ac = 18² - 4·(-3)·1 = 324 + 12 = 336 = 16 · 21

$\displaystyle y_{1} =\frac{-18+4\sqrt{21} }{-6} =\frac{9-2\sqrt{21} }{3}$

$\displaystyle y_{2} =\frac{-18-4\sqrt{21} }{-6} =\frac{9+2\sqrt{21} }{3}$

⇒  $\displaystyle Im\ f=\left[\frac{9-2\sqrt{21} }{3};\ \frac{9+2\sqrt{21} }{3}\right]$

e)

notăm f(x) cu y și aflăm ce valori poate avea y

$\displaystyle \frac{x^{2}-5x+6 }{x^{2} -2x+1} =y$

x² - 5x + 6 = y·(x² - 2x + 1)

x² - 5x + 6 = yx² - 2yx + y

x²·(1 - y) + x·(-5 + 2y) + (6 - y) = 0

Pentru ca ecuația să aibă soluții, punem condiția Δₓ ≥ 0

Δₓ = b² - 4ac = (-5 + 2y)² - 4·(1 - y)·(6 - y) = 25 - 20y + 4y² - 4·(6 - y - 6y + y²) = 25 - 20y + 4y² - 24 + 28y - 4y² = 8y + 1

Δₓ ≥ 0  ⇔ 8y + 1 ≥ 0

8y ≥ -1

y ≥ -1/8

⇒ $\displaystyle Im\ f=\left[-\frac{1}{8};\ +\infty\right)$