Question

Să se determine imaginea intervalului [2,3] prin functia f:R->R, f(x) =x^2-4x+3

Answer 1

Răspuns:

f(x) =$x^{2}$ - 4$x$+3

Functia generala este:

$f(x) = ax^{2} + bx + c$

Observam ca semnul lui a este pozitiv (+1).

Prin urmare, $f (x)$ este descrescatoare in intervalul (-∞,      $y_{v}$]

si crescatoare in intervalul [$y_{v}$, ∞).

Ne folosim de formula varfului parabolei pentru x:

$x_{v}$=$\frac{-b}{2a}$

=> $x_{v} = 3/2 = 2$

Prin urmare invervalele de monotonie ale functiei sunt  

(-∞, 2] si [2, ∞)

Vedem cum ne incadram cu f(2) si f(3), daca apartin unui interval de monotonie in intregime, putem spune ca aceasta este imaginea functiei; altfel trebuie sa calculam varful parabolei pentru y ( $y_{v}$ este punct minim al functiei in cazul nostru) si apoi sa gasim punctul maxim al acesteia.

f(2) = -1

f(3) = 0

Din fericire ne aflam complet intr-un interval de monotonie, deci putem spune ca:

f:[2,3] -> [-1,0]

Sper sa fie in regula si daca ai neclaritati nu ezita sa intrebi! :)