Question

Să se determine intervalele de convexitate si de concavitate pentru funcţiile
În clasa nu prea am facut modele de genu
Iar pe net nu prea am găsit cum ar trebui să fac
Am incercat să fac ceva
Dar nu stiu dacă e bine cum am inceput...

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

Derivata a 2-a ne da punctele de inflexiune,

adica pct. in care se schimba convexitatea/concavitatea,

precum si convexitetea/concavitatea, care se stabilesc

pe un interval, pe care f(x) este cont. si deriv. de 2 ori

Daca pe un iterval f"(x) => 0, f este convexa pe interval

 (se mai spune ca graficul tine apa)

Daca pe un interval f"(x) <= 0, f este concava pe interval

 (se mai spune ca graficul nu tine apa)

f(x) = x/(x^2 +4)

f'(x) = (1*((x^2 +4) - x(2x))/(x^2 +4)^2=

(x^2 +4 -2x^2)/(x^2 +4)^2 =

(-x^2 +4)/(x^2 +4)^2

f"(x) = (-2x)(x^2 +4)^2 - (-x^2 +4)(2(x^2 +4)*2x=

2x(x^2 +4)(-x^2 -4 +2x^2 -8) =

2x(x^2 +4)(x^2 -12)

f"(x) = 0

2x(x^2 +4)(x^2 -12) = 0

2x =0 ,  x1 = 0 radacina a lui f"

x^2 + 4 > 0 pt. x in R

x^2 - 12 = 0, x2 = -√12,  x3 = √12   radacini ale lui f"

√12 ~ 3,4

f"(-4) = -8(16-12) < 0

Pe (-inf, -√12), f" < 0, f = concava

La fel se arata ca :

pe (-√12, 0) , f" > 0, f = convexa , x2 = pct. infl.

pt. x in (0, √12) f" < 0, f = concava, x1 = pct. infl.

pe (√12, +inf), f" > 0,   f = convexa , x3 = pct. infl.