Question

Sa se determine inversa funcției f:(0,inf)->(1,inf) f(x)=x^2+x+1

Answer 1

$f:(0,+\infty)\to (1,+\infty),\quad f(x) = x^2+x+1\\ \\ y = x^2+x+1$

Calculăm funcția inversă:

$x=y^2+y+1 \Rightarrow y^2+y-x+1 = 0 \Rightarrow y^2+y-(x-1) = 0$

Rezolvăm ecuația în funcție de y:

$\Delta = 1 -4\cdot 1\cdot\Big[-(x-1)\Big] = 1+4(x-1)\\ \\ \Rightarrow y = \dfrac{-1\pm\sqrt{1+4(x-1)}}{2},\quad x>1,\, y>0$

Observăm ca funcția inversă trebuie sa fie pozitivă.

Întotdeauna la funcțiile inverse, se interschimbă domeniul cu codomeniul, prin urmare funcția inversă este:

$f^{-1}:(1,+\infty)\to (0,+\infty),\quad f^{-1}(x) = \dfrac{-1+\sqrt{4x-3}}{2}$

Answer 2

Răspuns:

f^(-1) (x) = (-1+√(4x-3))/2

Explicație pas cu pas:

y=x²+x+1

x²+x+1-y=0

x1,2= (-1±√(1-4(1-y))/2

(0;∞)⊂(-1/2;∞) portiunea crescatoare a parabolei

functia inversa exista si ia valori pozitive

cum f(x) :(0;∞)->(1;∞)⇒f^(-1) (x) : (1;∞)->(0;∞)

f(y) =(-1+√(4y-3))/2

f^(-1) (x) = (-1+√(4x-3))/2